小網路票選學生時代「最沒用」或「最討厭」的科目,數學榮登榜首。為何數學會讓人感到艱難、無力、痛苦、不知意義何在?這恐怕跟教材、教科書很有關係。
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一講到「數學」,很多人可能會馬上皺起眉頭,聯想到自己斑斑血淚的學習記憶,那些彷彿永無止盡的公式、解題、補習、考試……。網路票選學生時代「最沒用」或「最討厭」的科目,眾人的箭靶往往也指向數學。為什麼數學總令人感到艱難、無力、痛苦、不知意義何在?做為一門現代科學與科技發展不可或缺的基礎學問,數學何以在臺灣學生眼中成為一場惡夢?除了升學主義、教學因素外,「教科書」也許是問題之一。

「教育與學習,不僅是老師和學生的事。」現兼任嘉義大學副校長的數理教育研究所特聘教授楊德清說道,「介於雙方之間的教科書,是教學現場的樞紐,同時影響了學生的學習與老師的教學。」

不論個別學生天生資賦為何,老師又具備多少教學技巧或熱情,教科書的內容、編製方針,才是真正系統性影響一個國家數學教育品質的關鍵因子。楊德清多年來從事數學教科書的跨國比較研究,發現臺灣數學教科書在國際間的優與劣,也為未來編製方向提出建言。

楊德清指出教科書的內容、編製方針,才是真正系統性影響一個國家數學教育品質的關鍵因子。
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為什麼我們需要學數學?數學該怎麼學?臺灣數學教科書的實際內容,符合學者心目中的教育理念嗎?楊德清從臺灣學生學習數學的情況談起。

成績絕佳,興趣低落:臺灣學生的數學魔咒?

每年都能見到新聞報導臺灣學生在數學奧林匹亞奪得多少面獎牌,各項國際評比也顯示,臺灣學生在國際之間,數學能力表現十分出色。近十年,在經濟合作暨發展組織(OECD)舉辦的國際學生能力評量計畫(簡稱PISA),臺灣學生的數學表現皆位居前五,甚至曾在2006年取得世界第一。

國際教育成就評量學會(IEA)實施的國際數學與科學教育成就趨勢調查(簡稱TIMSS)中,臺灣的表現同樣不俗:根據剛出爐不久的2019年調查結果,臺灣八年級學生的數學成就表現排名世界第二,四年級學生排名第四。

經濟合作暨發展組織(Organization for Economic Cooperation and Development,OECD)是全球37個市場經濟國家組成的政府間國際組織,總部設在法國巴黎米埃特堡(Château de la Muette),其國際學生能力評量計畫(簡稱PISA),臺灣學生的數學表現歷年皆位居前五。
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只不過,表面上成績光鮮亮麗,並不代表學生發自內心、喜歡學數學。

楊德清從國際評比數據看到,擁有傑出數學能力的臺灣學生,對數學的學習興趣卻相當低落,不僅遠低於國際平均,排名更是以倒數計。他認為這和臺灣長年來「考試引導教學」的教育文化有關,學生被鼓勵套用生硬公式、訓練解題能力,卻失去培養主動思考能力的機會。

跟臺灣數學表現相同,甚至超越的國家如芬蘭、新加坡等,學童卻能對數學保有中等程度以上的學習興趣,這是怎麼辦到的?
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「比起學生喜不喜歡數學,師長普遍更重視數學成績考得好不好。我們的文化更加重視學習的成果,勝過於學習的過程。」楊德清感嘆道,「這也反映在課本編製與考試出題上。

對照其他各國情況,比如芬蘭、新加坡等數學能力表現與臺灣平起平坐,甚至優於臺灣的國家,學童卻皆具備至少中等程度以上的學習興趣。這些國家的數學教育動了什麼手腳,竟然有辦法兼顧學生的成績表現與學習動機?

借鏡芬蘭,原來數學可以這樣教

芬蘭數學課本,顛覆你我想像中的數學。
圖片來源/Werner Söderström Corporation (2006). Laskutaito 1A–6B in English. Heisinki:WSOY Oppimateriaalit Oy.

中小學(一至九年級)是培養學習動機的關鍵期,一旦初期對數學形成負面學習態度,往後在高中碰到更艱深的主題,學童可能一見到數學就想逃跑。楊德清曾分析過美國、芬蘭、新加坡、中國、印尼、馬來西亞等地的中小學數學教科書,他特別提出芬蘭的案例,可做臺灣數學教育借鏡的典範。

芬蘭數學教科書成功的關鍵,是生活化、國際化、跨領域。

楊德清說,「你可以在他們的數學課本中看到農業部門、氣候部門公布的資訊,或是坊間報章雜誌所刊載的調查數據。從四季氣溫變化、爵士鼓各部件的大小比例、到經緯度與時區概念,把這些生活化的內容融入數學課,數學問題就不再只是抽象的符號運算,而是真正與現實生活切身相關。」

楊德清進一步指出,芬蘭的小學數學課本中甚至出現了臺北101大樓、中華民國國旗,感到格外親切之餘,也不禁讚嘆芬蘭教科書編製者將國際化內容嵌入數學教育的苦心。「不但如此,芬蘭小學高年級的數學教科書裡也能見到自然科學的蹤影,在數學題目中結合鳥類、動物等相關知識。」

芬蘭數學教科書從中華民國國旗到101大樓,充分展現生活化、國際化與跨領域。
圖片來源/Werner Söderström Corporation (2006). Laskutaito 1A–6B in English. Heisinki:WSOY Oppimateriaalit Oy.

分析「數學問題」,為臺灣數學教科書提出診斷與藥方

從印刷版面到內容安排,世界各國的數學教科書可說千差萬別。為了進行客觀比較,楊德清以定義相對單純的「數學問題」做為分析單位。在國際評比數學能力佳的國家中,挑出具代表性的數學教科書,進而從這些教材中數學問題的類型與數量分佈,窺見各國數學教育注重面向的不同。

數學問題可以分成哪些種類?楊德清從三個角度切入:呈現方式、表徵方式、佈題型態

01.呈現方式──數學題目的「情境性」

呼應前面提到芬蘭的例子,數學問題可依據「呈現方式」分為「情境問題」或「非情境問題」。

所謂情境問題,指的是將生活情境的描述融入題幹內容的數學問題;非情境問題則是抽離具體情境,僅以術語、符號呈現的數學問題。舉例來說,一個計算長方體體積的數學題,如果只提供長、寬、高的數字資訊,便算是非情境問題;但如果加入郵局包裹體積規範的情境設定,就變成了情境問題。

楊德清指出,結合生活情境的數學問題,由於和實際事物有所連結,相對能夠讓學生感到親近,進而提高學習動機。但反觀臺灣的數學教科書,教育部雖然提倡「數學融入生活」,教科書編製仍常流於「為情境而情境」,就算納入生活情境,往往也只是點綴、包裝,難以讓學生真的感受到學習數學的樂趣、重要性。

企劃腳本/林義宏  美術設計/林柏希

02.表徵方式──數學題目的「表達形式」

相同的數學知識,可以透過不一樣的形式表達與探詢,也就是「表徵方式」。楊德清根據表徵方式的差異,將數學問題分成以下四類:

  1. 數學表徵:僅涉及數字、符號、公式之運算與推導的純數學問題,如「6x+9y=10、3x+5y=2 求解聯立方程式。」
  2. 文字表徵:以口語文字敘述詢問數學問題。如「請問十六邊形的內角和是幾度?」
  3. 視覺表徵:以圖片、表格或地圖等視覺方式呈現數學問題,且圖表提供的資訊是解題的必要元素,而不只是插圖。例如:換算地圖比例尺、計算面積與角度等數學考題。
  4. 聯合表徵:結合以上二或三種表徵所呈現的數學問題,即為聯合表徵問題。

「各種表徵方式的題型,比例應該如何分配,並沒有絕對的準則。」楊德清解釋,「但我們也發現,結合多重表徵的聯合表徵問題,最有利於學生的高層次認知發展。」

楊德清也提到,在國際評比中,臺灣學生的閱讀能力表現一直不太理想,而數學教育涉及題幹文字的判讀、理解,恰可視為閱讀能力訓練的其中一環。也因此,他近期正積極調查第一線數學教師的教學現況,探索「數學繪本」運用於中小學教育的可能性。

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03佈題型態──數學題目的「答案自由度」

最後「佈題型態」,也就是「開放式/封閉式問題」的區分。

國民教育階段,絕大部分的數學問題都屬於有標準答案的封閉式問題。相對而言,開放式問題提供學生自由回答的空間,讓每個人可以根據當下的學習程度與理解方式,寫出自已獨特的答案。開放式問題在臺灣中小學數學教科書裡相對少見。以國中階段的幾何教材為例,美國「連結數學」教材包含高達三成的開放式問題,臺灣教材卻只有3%。

楊德清舉例說:「什麼是分數?」像這樣子的概念定義問題,其實無須要求孩子死背。我們可以更開放地討論、從不同角度去解釋什麼是分數;為什麼我們需要分數。

對於教育現場的數學老師來說,如果教科書採用缺乏唯一正解的開放式問題,很可能造成批改作業、考卷的時間大幅增加;給分標準難以衡量;甚至碰到特別聰明的學生,給出異想天開、挑戰既有觀念的答案,種種實務上的挑戰。「但是,也正因為沒有唯一的標準答案,開放式問題才引發學生主動思考,發揮無限的想像空間。」楊德清認為,增加開放式問題依然是臺灣數學教科書未來應該發展的方向。

企劃腳本/林義宏  美術設計/林柏希

從數學能力到「數學素養」與「數常識」

從九年一貫到十二年國教,教育部的數學課程綱要亦持續改革變動,108課綱更明訂以「素養」為國民教育的核心培養目標。楊德清點出,數學做為一種基本素養,本來就和我們的日常生活息息相關,舉凡記帳、投資、經營店面、媒體識讀、資訊素養,現代生活許多平常不易察覺的環節都仰賴數學素養,或更為基本的「數常識」(Number Sense)。

「很多人把它稱為『數感』,但我認為比較精確的說法應該是『數常識』。」楊德清解釋,「所謂數常識,就是學生能夠把對數學教育中關於數與量的基本認知,昇華成生活中能夠自然活用的常識。」

舉例來說,如果電視報導:「夜市攤販表示:一個晚上賣出兩萬杯木瓜牛奶!」這則標題聳動的新聞可信嗎?楊德清簡單計算兩萬杯木瓜牛奶的製作時間、原料用量,指出這根本是現實中不可能發生的事。身為媒體閱聽眾、網路使用者、乃至公民社會的一員,擁有基本的數學素養,有助於我們對社會事件或議題進行合理的評估、溝通與討論,而這樣的素養必須從中小學培養起。

楊德清指出,數學做為基本素養,自然就應要和日常生活息息相關。
攝影/黃國彰

「數學教科書如果能納入更多情境式、開放式、聯合表徵的問題,理論上有利於孩子數學素養的培育,但過去臺灣教科書編製者傾向迴避這類問題。所幸近幾年隨著教育部調整課綱,臺灣數學教科書的佈題安排慢慢有了進步。」見到自己的研究成果逐漸落實在臺灣數學教育體系,楊德清欣慰地說。

至於小朋友喜愛的繪本,未來有機會跟數學教育結合嗎?楊德清說:「目前正開發問卷瞭解現階段的狀態,包含:老師們對於把數學繪本融入,有什麼想法?以及未來如果要融入,老師們會不會接受?不接受的考量是什麼?」期待協助推動更多元的數學教育,讓孩子們可以嘗試喜歡、認識數學,而不再聞「數」色變。

採訪撰稿/林義宏
編輯/林俊孝
攝影/黃國彰

研究來源
楊德清(2011)。臺灣、美國、芬蘭、新加坡與上海國小數學教科書之內容的比較研究。科技部(原國科會)專題研究計畫(一般研究計畫)。
楊德清(2013)。臺灣、美國、新加坡、大陸與芬蘭國中階段數學教科書內容之比較研究。科技部(原國科會)專題研究計畫(一般研究計畫)。
楊德清(2017)。印尼、馬來西亞與台灣跨國性國小數學教科書之比較研究。科技部專題研究計畫(一般研究計畫)。
楊德清(2020)。國小在職教師關於兒童文學融入數學教學與學習之信念的研究與實踐之初探。科技部專題研究計畫(一般研究計畫)。