說到數學課,一般人會先想到複雜的代數幾何,和黑板上密密麻麻的公式計算。和國立勤益科技大學基礎通識教育中心劉柏宏教授聊數學,沒有那麼艱澀,他會說起小川洋子的《博士熱愛的算式》、美國影集《數字搜查線》(Numb3rs),和達文西手稿裡天馬行空的坦克車、螺旋槳。

劉柏宏說自己學數學的歷程艱辛,國中數學不及格,硬擠進大學窄門,偏偏考進數學系。他曾問教授:「學數學有什麼用?」投入數學通識教育30年,直到今天,這個問題他仍放在心裡時常琢磨。

劉柏宏談數學文化,探究古今中外各民族如何運用數學解決生活問題。
攝影/黃士航

文化裡的數學,看古今東西用數學解決生活大小事

浩瀚的數學體系中,劉柏宏最感興趣的是「數學文化」。他說數學文化,是「文化中的數學」,也是「數學中的文化」。

「文化中的數學」是理解數學知識宏觀發展的歷程,是歷史的、社會的、民族的。他特別喜歡探究數學史,看人類悠長歷史中,各民族如何運用數學面對生活情境。

以進位制為例,除了現在最熟悉的10進位,其實還有2進位、12進位、20進位等多種制度。古巴比倫時期的60進位制,來自於當時的人認為一年有360天,經過一年,太陽剛好「走」完一個360度的圓。這種進位制至今仍在使用,例如60秒1分鐘、360度圓,也和中國「六十甲子」的算法不謀而合。

古巴比倫時期的六十進位法,以楔形文字表達數字。
圖片來源/維基百科

除了計算時間、衡量土地、交易買賣、分配遺產,劉柏宏說,數學也很詩情畫意。例如宋代邵雍寫過〈山村詠懷〉,「一去二三里,煙村四五家,亭台六七座,八九十枝花。」清代數學家梅瑴成則寫下,「三藏西天去取經,一去十萬八千程。每日常行七十五,問君幾日得回程。」這些數學詩既是文人的筆下消遣,也是傳授算學的益智問答。

鑽進數學史,劉柏宏說,數學其實很生活化,而跨文化的對照特別有意思。例如柏拉圖認為,數學是解釋萬物現象的鑰匙,研究數學能解開宇宙真理的奧秘,掌握變化背後不變的真實。「但同時代的孔子很少談論數學,禮樂射御書數,數學排在最後,儒家更重視禮教思辨」,劉柏宏認為這也是抽象數學更多發展於西方,後來和哲學、神學和科學交融思辨的原因之一。

數學裡的文化,數學家眼中的「數之美」

至於「數學中的文化」,劉柏宏認為是理解數學的微觀發展,包括歸納猜想、演繹證明、社群辯證。從生活而生的數學,也因此走向抽象,「尤其數學家內部會形塑一種特殊文化,一些『自己人』才懂的東西,例如『證明』在數學社群內就是重要的文化」。

除了正確,數學社群內也探討數學的信念、價值與美學。什麼是數學之美?劉柏宏笑而不答,卻在空中比劃出一個三角形,「三角形無論大小、邊長,內角和都是180度;三角形兩邊和一定大於第三邊;還有畢氏定理𝑎²+ 𝑏 ²=c²(直角三角形兩股長的平方和等於斜邊長平方和)」。

「數學的美,在於說不出道理,但事實卻是如此」。

劉柏宏說,證明和定理的誕生,往往是出於數學家的好奇和困惑。他在課堂上出了一道謎:「有一隻熊從牠的家出發,往南走一公里,又往東走一公里,再往北走一公里,結果又回到家。請問這隻熊是什麼顏色?」學生說是腦筋急轉彎,他說是數學問題。

他指著地球儀上的北極,公布正解,答案是白色。「回答這個問題,要先思考這件事全世界只有在哪裡會發生?學生為什麼會覺得這個問題很無厘頭?因為我們的思考常受歐幾里德平面幾何學影響,但地球是彎曲空間,我們可以讓學生思考,在凸面的地球儀或消風的籃球上畫三角形,三角形的內角和還是180度嗎?」

三角形內角和一定等於180度?數學家從一個疑問出發,發展出不同於歐幾里德平面幾何學的「非歐幾何」。
圖片來源/Unsplash

過去的數學家也想過這些問題,於是俄羅斯數學家羅巴契夫斯基(1792-1856)提出三角形內角和小於180度的羅氏幾何;接著德國數學家黎曼(1826-1866)提出三角形內角和大於180度的黎曼幾何。由於他們的幾何體系不同於「歐幾里得幾何學」,因此被稱為「非歐幾何學」。

「非歐幾何學有什麼用?數學家也不知道,只是好奇」。直到黎曼幾何問世的六十多年後,愛因斯坦提出廣義相對論,他所運用的幾何基礎就是黎曼提出的空間概念。

劉柏宏說:「純數的美,在於你從一個不同的立足點出發,靠想像力和邏輯就能建構一套截然不同的知識。你也可以說1+1=3,試試看從這裡出發會得到什麼?有沒有用不是數學家關心的問題。」

英國數學家哈代(1877-1947)甚至說過「數學無用」,在他的年代,「無用」指的也是不會被應用在戰爭,讓數學的靈魂始終純粹。而什麼數學最沒用?哈代說是「數論」(number theory),也就是討論數字的關係。

後來事情不如哈代所願,他所研究的數論,被應用在二戰的軍事密碼,乃至現在的網路資安。劉柏宏說:「20世紀初被認為最沒用的,到21世紀卻是最有用,這也是一種數學文化。本來是數學家社群的文化,後來被投入實用,又成為文化中的數學,彼此相互影響。」

「數學中的文化」與「文化中的數學」,交織構成「數學文化」。
原圖出處/劉柏宏,〈從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵──理論與案例分析〉,圖表美化/Chloe Liao

美、英、中、臺比一比,課本中的數學文化

即使是害怕數學的人,聽劉柏宏「數學講古」也覺得津津有味。然而,回到教育現場,根據「國際學生能力評量計畫」(PISA)評比,臺灣學生的數學教育程度曾被評為世界第一,對數學的喜好度卻遠低於世界平均。

近年參與課程綱要制訂,面對臺灣學生「高成就,低態度」的現象,劉柏宏先從高中數學課本找答案,他想知道課本如何呈現數學文化?同時,他也收集美國、英國、中國和臺灣的高中數學教材,透過分項指標分析比對。

劉柏宏觀察,美國的數學教材重視生活應用和問題解決,修憲、選舉和參議院組成都能成為例題;中國教材則緊扣生活議題或與國家發展有關的社會議題。相較於美、中教材強調演繹證明,英國教材更重視歸納猜想,且融入數學史的情況最普遍。

至於臺灣的教科書,劉柏宏說:「臺灣數學教學的理論和實務雖然紮實多元,教科書內容卻顯得保守,而且較多老師選用的版本,數學文化的內容融入幾乎闕如。」

劉柏宏認為,融入數學文化,以循序漸進的問題引導,就能讓學生做更高階的數學思考。
攝影/黃士航

尤其,108課綱強調「議題融入」,臺灣教科書的例題設計與生活情境是否相符?劉柏宏翻閱不同版本的教材發現,如果出題者只從數學的角度設計題目,得到的數字拿回真實生活卻可能無法驗證,「學生可能沒有想太多,只是當一題數學作完,但這樣的問題就是『假情境』,就會是『假的素養』」。

素養和能力不是等號

從99課綱關注的能力導向,到108課綱提倡的素養導向,十年一改,對教學現場究竟有何影響?劉柏宏說:「能力和素養很難一刀切,沒有能力一定沒有素養,但有素養並不表示有能力,兩者並不是等號。」

他認為,教師和家長是課程改革最重要的兩種聲音,「我常開玩笑說,比起『課綱』,教師和家長更關心『考綱』。但我們必須先接受一個事實:素養是落實在生活中,不是所有素養都能在學校學到,也是考不出來的」。

劉柏宏說:「數學教育還是被大環境制約,大家會認為數學考得難是應該的,也覺得『計算能力』很重要,是臺灣成功的基礎。但現在我們認為『思考能力』更重要,因為未來的世界不一樣了,未來的孩子是多工型,我們應該善用他們的多工和數位能力去發展」。

做實驗、寫小說,通識教育的實踐場域

關注數學文化,劉柏宏說是因為「不滿足」,他常自問為什麼要這樣學數學?「當老師要先解決自己心中的矛盾,後來我發現數學史是能疏通這些想法的管道」。在美國念博士時,他決定將數學史融入教學,回臺後投入通識教育,「通識教育更有空間做跨領域連結,讓我開了眼界,又有實踐場域」。

他開過一門「科學解碼達文西」,期末作業是讓學生親手做出一頂達文西設計的降落傘,綁著人偶,從教室頂樓試飛。他教微積分、重力加速度、最速降曲線,先帶學生做實驗,實驗數據出爐,學生不僅得到一個公式,也知道公式怎麼來;千百年前數學家「算」出來的公式,他和學生動手驗證。

劉柏宏帶領學生做出達文西設計的降落傘,並實際試飛。
攝影/黃士航

「數學不是只有計算、套公式,透過觀察,再拿實驗數據和公式比較,學生會對公式認識更深。知其然,也知其所以然,就是素養很重要的部分;知識是記憶,能力是應用,素養還要知道為什麼」。

他也讓學生寫數學詩、數學小說,當理性遇見感性,迸出創意火花。劉柏宏提到,「洪萬生教授一直在推廣『數學敘事』(mathematical narrative),一道證明也可以有情節、有邏輯、有美感。讓教學像說故事一樣,解題時引導學生思考,就像在講述事件的發展」。

「文以載數」就是一種終生學習,他希望學生不要害怕數學、討厭數學,甚至走出學校從此不碰數學,「就算不會計算,也要把概念放在心裡,那是一種感覺,會隨著你的成長有不同想法」。他希望學生知道,考試之外還有些終生受用的東西,「透過數學看到世界,就是數學文化最大的用處」。

採訪撰稿/黃詩茹
編輯/黃詩茹
攝影/黃士航

研究來源
劉柏宏(2013-2015)。數學文化與教育整合型計畫──總計畫:數學文化融滲於數學教育中之理論與實務的探究。科技部專題研究計畫(一般研究計畫)。
劉柏宏(2014)。文藝復興時期科學和藝術的會通:以達文西為個案的研究。通識教育學刊,13,9-26。
劉柏宏(2016-2018)。數學文化融入十二年國教數學課程──數學文化融入十二年國教數學課程──總計畫。科技部專題研究計畫(一般研究計畫)。
蘇意雯、劉柏宏(2016-2018)。數學文化融入十二年國教數學課程──子計畫三:數學史素養素材之開發與探究。科技部專題研究計畫(一般研究計畫)。
劉柏宏(2016-2018)。數學文化融入十二年國教數學課程──子計畫四──數學人文素養素材之開發與探究。科技部專題研究計畫(一般研究計畫)。
劉柏宏(2016)。從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵──理論與案例分析。臺灣數學教育學刊,3(1),55-83。