知識是記憶，能力是應用，素養是知道為什麼──劉柏宏和他的數學情詩

說到數學課，一般人會先想到複雜的代數幾何，和黑板上密密麻麻的公式計算。和國立勤益科技大學基礎通識教育中心劉柏宏教授聊數學，沒有那麼艱澀，他會說起小川洋子的《博士熱愛的算式》、美國影集《數字搜查線》（Numb3rs），和達文西手稿裡天馬行空的坦克車、螺旋槳。

劉柏宏說自己學數學的歷程艱辛，國中數學不及格，硬擠進大學窄門，偏偏考進數學系。他曾問教授：「學數學有什麼用？」投入數學通識教育30年，直到今天，這個問題他仍放在心裡時常琢磨。

劉柏宏談數學文化，探究古今中外各民族如何運用數學解決生活問題。
攝影／黃士航

文化裡的數學，看古今東西用數學解決生活大小事

浩瀚的數學體系中，劉柏宏最感興趣的是「數學文化」。他說數學文化，是「文化中的數學」，也是「數學中的文化」。

「文化中的數學」是理解數學知識宏觀發展的歷程，是歷史的、社會的、民族的。他特別喜歡探究數學史，看人類悠長歷史中，各民族如何運用數學面對生活情境。

以進位制為例，除了現在最熟悉的10進位，其實還有2進位、12進位、20進位等多種制度。古巴比倫時期的60進位制，來自於當時的人認為一年有360天，經過一年，太陽剛好「走」完一個360度的圓。這種進位制至今仍在使用，例如60秒1分鐘、360度圓，也和中國「六十甲子」的算法不謀而合。

古巴比倫時期的六十進位法，以楔形文字表達數字。
圖片來源／維基百科

除了計算時間、衡量土地、交易買賣、分配遺產，劉柏宏說，數學也很詩情畫意。例如宋代邵雍寫過〈山村詠懷〉，「一去二三里，煙村四五家，亭台六七座，八九十枝花。」清代數學家梅瑴成則寫下，「三藏西天去取經，一去十萬八千程。每日常行七十五，問君幾日得回程。」這些數學詩既是文人的筆下消遣，也是傳授算學的益智問答。

鑽進數學史，劉柏宏說，數學其實很生活化，而跨文化的對照特別有意思。例如柏拉圖認為，數學是解釋萬物現象的鑰匙，研究數學能解開宇宙真理的奧秘，掌握變化背後不變的真實。「但同時代的孔子很少談論數學，禮樂射御書數，數學排在最後，儒家更重視禮教思辨」，劉柏宏認為這也是抽象數學更多發展於西方，後來和哲學、神學和科學交融思辨的原因之一。

數學裡的文化，數學家眼中的「數之美」

至於「數學中的文化」，劉柏宏認為是理解數學的微觀發展，包括歸納猜想、演繹證明、社群辯證。從生活而生的數學，也因此走向抽象，「尤其數學家內部會形塑一種特殊文化，一些『自己人』才懂的東西，例如『證明』在數學社群內就是重要的文化」。

除了正確，數學社群內也探討數學的信念、價值與美學。什麼是數學之美？劉柏宏笑而不答，卻在空中比劃出一個三角形，「三角形無論大小、邊長，內角和都是180度；三角形兩邊和一定大於第三邊；還有畢氏定理?²+ ? ²=c²（直角三角形兩股長的平方和等於斜邊長平方和）」。

「數學的美，在於說不出道理，但事實卻是如此」。

劉柏宏說，證明和定理的誕生，往往是出於數學家的好奇和困惑。他在課堂上出了一道謎：「有一隻熊從牠的家出發，往南走一公里，又往東走一公里，再往北走一公里，結果又回到家。請問這隻熊是什麼顏色？」學生說是腦筋急轉彎，他說是數學問題。

他指著地球儀上的北極，公布正解，答案是白色。「回答這個問題，要先思考這件事全世界只有在哪裡會發生？學生為什麼會覺得這個問題很無厘頭？因為我們的思考常受歐幾里德平面幾何學影響，但地球是彎曲空間，我們可以讓學生思考，在凸面的地球儀或消風的籃球上畫三角形，三角形的內角和還是180度嗎？」

三角形內角和一定等於180度？數學家從一個疑問出發，發展出不同於歐幾里德平面幾何學的「非歐幾何」。
圖片來源／Unsplash

過去的數學家也想過這些問題，於是俄羅斯數學家羅巴契夫斯基（1792-1856）提出三角形內角和小於180度的羅氏幾何；接著德國數學家黎曼（1826-1866）提出三角形內角和大於180度的黎曼幾何。由於他們的幾何體系不同於「歐幾里得幾何學」，因此被稱為「非歐幾何學」。

「非歐幾何學有什麼用？數學家也不知道，只是好奇」。直到黎曼幾何問世的六十多年後，愛因斯坦提出廣義相對論，他所運用的幾何基礎就是黎曼提出的空間概念。

劉柏宏說：「純數的美，在於你從一個不同的立足點出發，靠想像力和邏輯就能建構一套截然不同的知識。你也可以說1+1=3，試試看從這裡出發會得到什麼？有沒有用不是數學家關心的問題。」

英國數學家哈代（1877-1947）甚至說過「數學無用」，在他的年代，「無用」指的也是不會被應用在戰爭，讓數學的靈魂始終純粹。而什麼數學最沒用？哈代說是「數論」（number theory），也就是討論數字的關係。

後來事情不如哈代所願，他所研究的數論，被應用在二戰的軍事密碼，乃至現在的網路資安。劉柏宏說：「20世紀初被認為最沒用的，到21世紀卻是最有用，這也是一種數學文化。本來是數學家社群的文化，後來被投入實用，又成為文化中的數學，彼此相互影響。」

「數學中的文化」與「文化中的數學」，交織構成「數學文化」。
原圖出處／劉柏宏，〈從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵──理論與案例分析〉，圖表美化／Chloe Liao

美、英、中、臺比一比，課本中的數學文化

即使是害怕數學的人，聽劉柏宏「數學講古」也覺得津津有味。然而，回到教育現場，根據「國際學生能力評量計畫」（PISA）評比，臺灣學生的數學教育程度曾被評為世界第一，對數學的喜好度卻遠低於世界平均。

近年參與課程綱要制訂，面對臺灣學生「高成就，低態度」的現象，劉柏宏先從高中數學課本找答案，他想知道課本如何呈現數學文化？同時，他也收集美國、英國、中國和臺灣的高中數學教材，透過分項指標分析比對。

劉柏宏觀察，美國的數學教材重視生活應用和問題解決，修憲、選舉和參議院組成都能成為例題；中國教材則緊扣生活議題或與國家發展有關的社會議題。相較於美、中教材強調演繹證明，英國教材更重視歸納猜想，且融入數學史的情況最普遍。

至於臺灣的教科書，劉柏宏說：「臺灣數學教學的理論和實務雖然紮實多元，教科書內容卻顯得保守，而且較多老師選用的版本，數學文化的內容融入幾乎闕如。」

劉柏宏認為，融入數學文化，以循序漸進的問題引導，就能讓學生做更高階的數學思考。
攝影／黃士航

尤其，108課綱強調「議題融入」，臺灣教科書的例題設計與生活情境是否相符？劉柏宏翻閱不同版本的教材發現，如果出題者只從數學的角度設計題目，得到的數字拿回真實生活卻可能無法驗證，「學生可能沒有想太多，只是當一題數學作完，但這樣的問題就是『假情境』，就會是『假的素養』」。

素養和能力不是等號

從99課綱關注的能力導向，到108課綱提倡的素養導向，十年一改，對教學現場究竟有何影響？劉柏宏說：「能力和素養很難一刀切，沒有能力一定沒有素養，但有素養並不表示有能力，兩者並不是等號。」

他認為，教師和家長是課程改革最重要的兩種聲音，「我常開玩笑說，比起『課綱』，教師和家長更關心『考綱』。但我們必須先接受一個事實：素養是落實在生活中，不是所有素養都能在學校學到，也是考不出來的」。

劉柏宏說：「數學教育還是被大環境制約，大家會認為數學考得難是應該的，也覺得『計算能力』很重要，是臺灣成功的基礎。但現在我們認為『思考能力』更重要，因為未來的世界不一樣了，未來的孩子是多工型，我們應該善用他們的多工和數位能力去發展」。

做實驗、寫小說，通識教育的實踐場域

關注數學文化，劉柏宏說是因為「不滿足」，他常自問為什麼要這樣學數學？「當老師要先解決自己心中的矛盾，後來我發現數學史是能疏通這些想法的管道」。在美國念博士時，他決定將數學史融入教學，回臺後投入通識教育，「通識教育更有空間做跨領域連結，讓我開了眼界，又有實踐場域」。

他開過一門「科學解碼達文西」，期末作業是讓學生親手做出一頂達文西設計的降落傘，綁著人偶，從教室頂樓試飛。他教微積分、重力加速度、最速降曲線，先帶學生做實驗，實驗數據出爐，學生不僅得到一個公式，也知道公式怎麼來；千百年前數學家「算」出來的公式，他和學生動手驗證。

劉柏宏帶領學生做出達文西設計的降落傘，並實際試飛。
攝影／黃士航

「數學不是只有計算、套公式，透過觀察，再拿實驗數據和公式比較，學生會對公式認識更深。知其然，也知其所以然，就是素養很重要的部分；知識是記憶，能力是應用，素養還要知道為什麼」。

他也讓學生寫數學詩、數學小說，當理性遇見感性，迸出創意火花。劉柏宏提到，「洪萬生教授一直在推廣『數學敘事』（mathematical narrative），一道證明也可以有情節、有邏輯、有美感。讓教學像說故事一樣，解題時引導學生思考，就像在講述事件的發展」。

「文以載數」就是一種終生學習，他希望學生不要害怕數學、討厭數學，甚至走出學校從此不碰數學，「就算不會計算，也要把概念放在心裡，那是一種感覺，會隨著你的成長有不同想法」。他希望學生知道，考試之外還有些終生受用的東西，「透過數學看到世界，就是數學文化最大的用處」。

採訪撰稿／黃詩茹
編輯／黃詩茹
攝影／黃士航